Khi gặp phải các đại lượng mà không thể tìm được hoặc không dễ dàng tìm được công thức tính chính xác, các nhà toán học thường dùng bất đẳng thức đáng nhớ để giới hạn khoảng tầm giá trị mà các đại lượng đó. Dưới đây là một số bất đẳng thức mà bạn cần biết:
1. Bất đẳng thức cơ bản với Số thực dương, số thực âm
Với a là số thực dương, ta kí hiệu a > 0
Với a là số thực âm, ta kí hiệu a < 0
a là số thực dương hoặc a = 0, ta nói a là số thực không âm và ký hiệu a≥0
a là số thực âm hoặc a = 0, ta nói a là số thực không dương và ký hiệu a≤0
Đối với hai số thực a, b, chỉ có thể xảy ra một trong ba khả năng:
a > b, a < b hoặc a = b
Phủ định của mệnh đề “a>0” là mệnh đề “a≤0”
Phủ định của mệnh đề “a<0” là mệnh đề “a≥0”
Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Tính chất 1: Tính chất bắc cầu:
Với mọi số thực a, b, c Ta có: {ab>>bc⇒a>c
Tính chất 2: Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ hai vế của một số, được phát biểu như sau: Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực
- Quy tắc cộng hai vế với một số: a>b⇔a+c>b+c
- Trừ hai vế với cùng một số: a>b⇔a−c>b−c
Tính chất 3: Quy tắc cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: ac>>bd⇒a+c>b+d
Tính chất 4: Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia hai vế của một bất đẳng thức, được phát biểu như sau:
Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chia) với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực.
- Quy tắc nhân hai vế với cùng một số: a>b⇔{acac><bc(c>0)bc(c<0)
- Quy tắc chia hai vế với cùng một số: a>b⇔{acac><bc(c>0)bc(c<0)
Tính chất 5: Quy tắc nhân hai vế hai bất đẳng thức cùng chiều: {ac>>bd>>00⇒ac>bd
Tính chất 6: Quy tắc nghịch đảo hai vế: a>b>0⇔0<1a<1b
Tính chất 7: Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc n: a>b>0,n∈N∗⇒an>bn
Tính chất 8: Quy tắc khai căn bậc n: a>b>0,n∈N∗⇒a−−√n>b√n
Hệ quả: Quy tắc bình phương hai vế
- Nếu a và b là hai số dương thì: a>b⇔a2>b2
- Nếu a và b là hai số không âm thì: a≥b⇔a2≥b2
Tính chất của bất đẳng thức đáng nhớ này được tóm tắt dưới đây:
|a|≥0,|a|2=a2,a<|a|,−a≤|a|
Với mọi a, b thuộc R, ta có:
- |a+b|≤|a|+|b|
- |a−b|≤|a|+|b|
- |a+b|=|a|+|b|⇔ab≥0
- |a−b|=|a|+|b|⇔ab≤0
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có:
- a>0,b>0,c>0
- |b−c|<a<b+c
- |c−a|<b<c+a
- |a−b|<c<a+b
- a>b>c⇒A>B>C
Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm), ta có thể biến đổi hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt, mà kết quả bất đẳng thức vẫn đúng. Và ngược lại, nếu đưa vào hai vế của một bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng.
Nghĩa là:
Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a≤b (hoặc a≥b), có hai trường hợp:
- Khi f(x) là hàm đơn điệu tăng thì f(a)≤f(b) (hoặc f(a)≥f(b) (không đảo chiều)
- Khi f(x) là hàm đơn điệu giảm thì f(a)≥f(b) (hoặc f(a)≤f(b) (đảo chiều)
- Khi f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì f(a)<f(b) (hoặc f(a)>f(b)) (không đảo chiều)
- Khi f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì f(a)>f(b) (hoặc f(a)<f(b)) (đảo chiều)
Ký hiệu a<b<c có nghĩa là a < b và b < c, theo tính chất bắc cầu, suy ra a < c.
Dễ thấy, cũng bằng các tính chất ở trên, có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/chia cả ba số hạng này với cùng một số khác 0, và tùy vào dấu của số nhân/chia đó mà có đảo chiều bất đẳng thức hay không.
Chú ý: chỉ có thể thực hiện điều trên với cùng một số, tức là a<b+e<c⇔a−e<b<c−e
Tổng quát hơn, bất đẳng thức kép có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng hạn a1≤a2≤…≤an có nghĩa là ai≤ai+1 với i = 1, 2, 3,…,n-1. Tương đương với ai≤aj∀1≤i≤j≤n
Đôi khi, kiểu ký hiệu bất đẳng thức ghép được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong trường hợp này phải hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế cận nhau. Ví dụ: a<b>c≤d có nghĩa là a < b, b > c và c≤d
Nguồn: Tổng hợp.
